[转化与化归思想]化归转化思想提升数学解题能力思考看法

化归转化思想提升数学解题能力思考看法

著名的数学家，莫斯科大学教授c.a.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解的题化归转化为已经解过的题”。化归转化就是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解问题的一种重要的数学思想方法。数学的解题过程，就是通过不断的化归转化，从未知向已知、从不规范向规范、从复杂向简单的化归转化过程。历年高考，化归转化思想无处不见，化归方法在中学数学教材中是普遍存在，到处可见，与中学数学教学密切相关。本文就教学实践中如何强化化归转化思想,提高数学解题能力谈一些粗浅的看法。

一、化归转化的目标和方向

同一个数学问题，由于观察的角度不同，对问题的分析、理解的层次不同，可以导致转化目标的不同与解题方法的不同．但目的只有一个，化归转化后所得出的问题，应是已经解决或是较为容易解决的问题。因此，化归转化的方向应是尽量做到化繁为简、化隐为显、化难为易、化未知为已知、化一般为特殊、化抽象为具体．而化归转化的思想实质就在于不应以静止的眼光，而应以运动、变化、发展以及事物间的相互联系和制约的观点去看待问题。即应当善于对所要解决的问题进行变形和转化，这实际上也是在数学教学中辨证唯物主义观点的生动体现。

二、化归转化的等价性与不等价性

化归转化包括等价转化和非等价转化两种．等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换即恒等变形。等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。等价转化要求转化过程中的前因后果是互相可逆推的．但事实上并不是所有的转化都是等价的，因此在转化过程中，一定要注意转化前后的等价性,如出现不等价转化，则需附加约束条件，而在非等价转化过程中常常会产生思维的闪光点，是找到解决问题的突破口．在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐复杂的问题变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式等；或者比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。

三、化归转化的方法

化归转化方法有分割法、映射法、恒等变形法、换元法 、函数法、数形结合法等等，

(1) 分割法

在几何教学中，常常对复杂的几何图形或几何体进行分割，使之成为简单的几何图形或几何体的组合。这是几何中实现化归转化的常用方法。

例1 如图三棱柱abc—a1b1c1中,若e,f分别为ab,ac的中点,平面

多面体befc—b1c1是不规则几何体，只有利用割补法用三棱柱abc—a1b1c1的体积减去三棱台aef—a1b1c1的体积才能解决，割补法是求解立体几何问题的重要方法，在高考中也多次出现。
eb1c1f将三棱柱分成体积为v1,v2两部分,求v1:v2.

（2）换元法：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元变形法用处很多，化简代数式如使用换元法可以简化计算过程，分解因式时使用换元法可以减少项数，便于发现关系，解方程时有些分式方程，指数方程和对数方程通过换元可以变成整式方程。有些高次方程通过换元可以达到降次的目的，有些无理方程通过换元可以去掉或减少根号。证明条件等式时，使用换元容易发现已知条件和待证等式之间的联系。通过换元引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。总之换元变形法用处十分广泛，学生应该熟练掌握在解题实践中灵活地、创造性地去运用。

(3)映射法：学习了集合与映射后用映射来定义函数，而把反函数的概念建立在一一映射的基础上，而确定反函数y=f (x)的映射是一个从原函数值域集合到定义域集合上的一个一一映射。映射法是实现化归的一种重要方法，如由于建立了直角坐标系，使平面上的点与有序实数对，曲线与方程建立了对应关系，几何问题转化为代数问题。此外复数与复平面上的点、向量也建立起一一对应 关系，把向量引进了代数，使复数的代表运算可用向量的几何运算来进行。

例:已知f(x)= 10x-1-2，则f-1(8)等于（ ）

a．2 b.4 c.8 d.12

解析:原式即求反函数式y=f-1(x)中当自变量取8时的函数值.根据互为反函数之间 的关系,只须求原函数式中函数值y=8时的x值即可.故8=10x-1-2得x=2.故选(a)

4）恒等变形法

无论在代数还是三角教材中，恒等变形都占有十分重要的位置，特别是在求解代数方程和三角方程时，利用恒等变形以实现未知向已知的化归，使我们能比较容易求得方程的解。例略

（5） 函数法

几何问题、方程问题、不等式问题和某些代数问题可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

例:实数q在什么范围内取值时，方程cos2x + sinx = q 有实数解？

解:原题就是求函数q=f(x)= cos2x + sinx的值域,

由q=cos2x + sinx=-2 sin2x+ sinx+1易解.

可见将参数的问题化归转化为函数问题来处理使问题变得浅显易解.

（6）数形结合法

例 已知方程 有两个不 相等的实数根，求实数b的取值范围。

【分析】如果将无理方程转化为有理方程则会产生增根，宜将之转化为

y= 和y=x+b结合图形解之
四、强化化归转化思想,提高数学解题能力

（1）指导学生运用化归转化的思想方法，提高学生思维能力

数学本身具有严谨的逻辑结构，对培养学生的逻辑思维能力有着很大的作用，它能养成学生从事确定的，有顺序的，有依据的思维习惯，学生在掌握数学基础知识和技能的同时就可以发展逻辑思维能力。上面举的化归转化方法和例题，在教学教材中是普遍存在的。因此在教学中如何体现化归转化思想，如何运用化归转化方法，提高学生思维能力是很重要的。在教学中我采用讲练结合，练为主线的方法有意识地引导和培养学生认识化归转化思想，强化解决数学问题中的应变能力，从而提高学生思维能力和技能、技巧。

（2）掌握化归转化基本方法，提高学生的认知活动能力

化归转化思想在教学中乃至社会实践中都是一个重要的思想方法，化归转化思想的形成需要教师在教学中有意识地引导和培养。例如把二元二次方程组通过降次消元化归转化为一元一次方程求解；将无理方程化归转化为有理方程求解；又如平面几何中解一般三角形的实际问题化归转化为解直角三角形；把弓形的有关计算化归转化为解直角三角形；在立体几何中求二面角的度数可将问题化归转化到平面几何的角（平面角）来求，又如证明面面平行问题化归转化为线面平行或线线平行，再如求四边形的内角和只要作一条对角线，就把问题化归转化到求三角形内角和。

（3）掌握化归转化实质，提高学生的解题能力

化归转化的实质是不断变更问题，因此可以从改变问题的成分这方面去考虑，也可以从实现化归转化的常用方法去考虑。在实际解题过程中，这两个方面是互相渗透，互相补充的。另外，利用数式的运算另辟捷径来提高解题能力。例如锐角α，β，γ满足cos2α+cos2β+cos2γ=1,求证tgαtgβtgγ≥2, 证明时可借助已知条件构作一长方体，使它的三边分别为a.b.c且记相交于一点的三棱a.b.c分别与a1c交成α.β.γ角，于是原有的三角证式就变更为代数证式。

总而言之，在数学教学中有意识地让学生去观察和思考问题揭示教材的内在联系和层次性，善于运用化归转化的意识，找到正确的化归转化的方向和途径，能提高学生的思维能力，提高学生的解题能力。